Question

设f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期T=π，最大值为f(

π

12

)=4，
（1）求ω、a、b的值；
（2）若α、β为方程f（x）=0的两根，且α、β的终边不共线，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）利用辅助角公式可把已知化简，f（x）=

a2+b2

sin(ωx+φ)，由周期T=π，代入周期公式T=

2π

ω

可求ω，又f（x）的最大值为f(

π

12

)=4．可得4=

a2+b2

①，且4=asin

2π

12

+bcos

2π

12

②，联立可解a，b
（2）由（1）可得f（x）=4sin（2x+

π

3

），由f（α）=f（β）=0?4sin(2α+

π

3

)=4sin(2β+

π

3

)，
从而有2α+

π

3

=2kπ+2β+

π

3

，或2α+

π

3

=2kπ+π-(2β+

π

3

)，整理代入可求

解答：解：（1）f（x）=

a2+b2

sin（ωx+φ），
∴T=π，∴

2π

ω

又f（x）的最大值为f(

π

12

)=4．
∴4=

a2+b2

①，且4=asin

2π

12

+bcos

2π

12

②，
由①、②解出a=2，b=2

3

．
（2）f（x）=2sin2x+2

3

cos2x=4sin(2x+

π

3

)，
∴f（α）=f（β）=0，
∴4sin(2α+

π

3

)=4sin(2β+

π

3

)，
∴2α+

π

3

=2kπ+2β+

π

3

，或2α+

π

3

=2kπ+π-(2β+

π

3

)，
即α=kπ+β（α、β共线，故舍去），或α+β=kπ+

π

6

，
∴tan(α+β)=tan(kπ+

π

6

)=

3

3

（k∈Z）．

点评：本题考查了三角函数的辅助角asinx+bcosx=

a2+b2

sin(x+φ )的运用，周期公式T=

2π

ω

的应用，三角函数的最值的求解，及三角方程的求解，综合的知识比较多，要求考生要熟练掌握三角函数的相关性质，才能熟练解题．