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已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(0,-1),(0,1),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0).
(1)求顶点C的轨迹E的方程,并判断轨迹E为何种圆锥曲线;
(2)当m=-
1
2
时,过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M,Q不重合)试问:直线MQ与x轴的交点是否为定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.
(1)设点C(x,y),由AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),
得:
y-1
x
y+1
x
=m
,化简得:-mx2+y2=1(x≠0).
当m<-1时,轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,-1)两点;
当m=-1时,轨迹E表示以(0,0)为圆心,半径是1的圆,且除去(0,1),(0,-1)两点;
当-1<m<0时,轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆,且除去(0,1),(0,-1)两点;
当m>0时,轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线,且除去(0,1),(0,-1)两点.
(2)当m=-
1
2
时,曲线E的方程为
x2
2
+y2=1(x≠0)

由题意可知直线l的斜率存在切不等于0,则可设l:y=k(x-1),
再设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2)(x1≠x2).
联立
y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
x1+x2=
4k2
1+2k2
x1x2=
2k2-2
1+2k2

∵M,Q不重合,则x1≠x2,y1≠-y2
∴MQ所在直线方程为y-y1=
y1+y2
x1-x2
(x-x1)

令y=0,得x=x1+
y1(x2-x1)
y1+y2
=x1+
k(x1-1)(x2-x1)
k(x1+x2-2)
=
2x1x2-(x1+x2)
x1+x2-2

=
2•
2k2-2
1+2k2
-
4k2
1+2k2
4k2
1+2k2
-2
=2

∴直线MQ过定点(2,0).
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如下图,椭圆中心为O,F是焦点,A为顶点,准线l交OA延长线于B,P,Q在椭圆上且PD⊥l于D,QF⊥OA于F,则以下比值①
|PF|
|PD|
|QF|
|BF|
|AO|
|BO|
|AF|
|BA|
|FO|
|AO|
能作为椭圆的离心率的是______(填写所有正确的序号)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设F1,F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点.
(1)设椭圆C上的点A(1,
3
2
)
到两焦点的距离之和为4,求椭圆C的方程;
(2)设P是(1)中椭圆上的一点,∠F1PF2=60°求△F1PF2的面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

在等边△ABC中,若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知离心率为
1
2
的椭圆C,其中心在原点,焦点在坐标轴上,该椭圆的一个短轴顶点与其两焦点构成一个面积为4
3
的等腰三角形,则椭圆C的长轴长为(  )
A.4B.8C.4
2
D.8
2

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的长、短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1
AB
OM

(1)求椭圆的离心率e;
(2)设Q是椭圆上任意一点,F1、F2分别是左、右焦点,求∠F1QF2的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的左焦点为F,直线x-y-1=0,x-y+1=0与椭圆分别相交于点A,B,C,D,则AF+BF+CF+DF=______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0)且顶点C在椭圆
x2
169
+
y2
144
=1
上,则
sinA+sinB
sinC
=______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,面ABC⊥α,D为AB的中点,|AB|=2,∠CDB=60°,P为α内的动点,且P到直线CD的距离为
3
,则∠APB的最大值为(  )
A.30°B.60°C.90°D.120°

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