Question

某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．

(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

Answer 1

（1）f(x)＝0．25x (x≥0)，g(x)＝2 (x≥0)．（2）①8．25(万元)．②当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8．5万元．

试题分析：(1) 设甲、乙两种产品分别投资x万元(x≥0)，所获利润分别为f(x)、g(x)万元，由题意可设    f(x)＝k₁x，  g(x)＝k₂，
∴根据图象可解得f(x)＝0．25x (x≥0)，  g(x)＝2 (x≥0)．
(2)由(1)得f(9)＝2．25，g(9)＝2＝6，
∴总利润y＝8．25(万元)．
② 设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，企业可获总利润
为y万元，   则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18．
令＝t，t∈[0,3]，
则y＝(－t²＋8t＋18)＝－(t－4)²＋．
∴当t＝4时，y_max＝＝8．5，此时x＝16,18－x＝2．
∴当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8．5万元．
点评：研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的．建立模型的步骤可分为： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示； (2) 根据所给条件，运用数学知识，确定等量关系； (3) 写出的解析式并指明定义域。