Question

【题目】已知f（x）= （x∈R），若f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）．
（1）求实数a的值；
（2）证明f（x）是R上的单调减函数（定义法）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= （x∈R），若f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，

故有f（0）=0，即 =0，∴a=﹣1，f（x）= =﹣ =﹣1+

（2）证明：在R上任取两个数x1、x2，且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）=（﹣1+ ）﹣（﹣1+ ）= ，

∵x1＜x2，∴0＜ ＜ ，∴ ﹣ ＞0， +1＞0， +1＞0，

∴ ＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2），

故函数f（x）在R上单调递减

【解析】（1）由题意可得函数f（x）为奇函数，故有f（0）=0，求得a=﹣1，可得f（x）的解析式．（2）在R任取两个实数x1和x2 ， 且x1＜x2 ， 证明f（x1）＞f（x2），即可证得f（x）在R上单调递减．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．