【题目】已知f(x)=x2﹣ax+lnx,a∈R.
(1)当a=3时,求函数f(x)的极小值;
(2)令g(x)=x2﹣f(x),是否存在实数a,当x∈[1,e](e是自然对数的底数)时,函数g(x)取得最小值为1.若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:由题可知,f(x)=x2﹣3x+lnx,所以
令f'(x)=0,得 或x=1
令f′(x)>0,解得:0<x< ,或x>1,
令f′(x)<0,解得: <x<1,
所以f(x)在 ,(1,+∞)单调递增,在 上单调递减
所以f(x)的极小值是f(1)=﹣2
(2)解:由题知,g(x)=ax﹣lnx,所以
①当a≤0时,g(x)在[1,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=1,
解得: (舍去)
②当 时,g(x)在[1,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=1,
解得: (舍去)
③当 时,g(x)在 上单调递减,在 上单调递增, ,
解得:a=1(舍去)
④当a≥1时,g(x)在[1,e]上单调递增,g(x)min=g(1)=a=1,
解得:a=1
综合所述:当a=1时,g(x)在[1,e]上有最小值1
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)求出函数g(x)的导数,通过讨论a的范围,确定函数的单调性,从而确定a的范围即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对函数的极值与导数的理解,了解求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
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【题目】椭圆C: 过点M(2,0),且右焦点为F(1,0),过F的直线l与椭圆C相交于A,B两点.设点P(4,3),记PA,PB的斜率分别为k1和k2 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)如果直线l的斜率等于﹣1,求出k1k2的值;
(3)探讨k1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出k1+k2的取值范围.
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【题目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是锐角三角形,则存在过点A的平面( )
A.与直线BC和直线A1B1都平行
B.与直线BC和直线A1B1都垂直
C.与直线BC平行且直线A1B1垂直
D.与直线BC和直线A1B1所成角相等
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AP=AB=AC=a, ,PA⊥底面ABCD.
(1)求证:平面PCD⊥平面PAC;
(2)在棱PC上是否存在一点E,使得二面角B﹣AE﹣D的平面角的余弦值为 ?若存在,求出 的值?若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)是奇函数,当x<0,f(x)=﹣x2+x,若不等式f(x)﹣x≤2logax(a>0且a≠1)对x∈(0, ]恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(0, ]
B.[ ,1)
C.(0, ]
D.[ , ]∪(1,+∞)
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【题目】已知f(x)=(x2﹣3)ex(其中x∈R,e是自然对数的底数),当t1>0时,关于x的方程[f(x)﹣t1][f(x)﹣t2]=0恰好有5个实数根,则实数t2的取值范围是( )
A.(﹣2e,0)
B.(﹣2e,0]
C.[﹣2e,6e﹣3]
D.(﹣2e,6e﹣3)
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【题目】给出下列命题: ①若数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,则Sn , S2n﹣Sn , S3n﹣S2n是等差数列;
②若数列{an}为等比数列,Sn为其前n项和,则Sn , S2n﹣Sn , S3n﹣S2n是等比数列;
③若数列{an},{bn}均为等差数列,则数列{an+bn}为等差数列;
④若数列{an},{bn}均为等比数列,则数列{anbn}为等比数列
其中真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别,每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示:
人文科学类 | 自然科学类 | 艺术体育类 | |
课程门数 | 4 | 4 | 2 |
每门课程学分 | 2 | 3 | 1 |
学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程,假设学生选修每门课程的机会均等.
(Ⅰ)甲至少选1门艺术体育类课程,同时乙至多选1门自然科学类课程的概率为多少?
(Ⅱ)求甲选的3门课程正好是7学分的概率;
(Ⅲ)设甲所选3门课程的学分数为X,写出X的分布列,并求出X的数学期望.
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【题目】已知随机变量Z~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,若向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )
附:若Z~N(μ,σ2),则 P(μ﹣σ<Z≤μ+σ)=0.6826;P(μ﹣2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544;P(μ﹣3σ<Z≤μ+3σ)=0.9974.
A.6038
B.6587
C.7028
D.7539
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