Question

设等比数列{a_n}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lga_n}的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)

Answer 1

{lga_n}的前5项和最大

解析:

解法一:  设公比为q,项数为2m,m∈N^*,依题意有

化简得.

设数列{lga_n}前n项和为S_n,则

S_n=lga₁+lga₁q²+…+lga₁q^n－1=lga₁ⁿ·q^{1+2+…+(n－1)}

=nlga₁+n(n－1)·lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3

=(－)·n²+(2lg2+lg3)·n

可见，当n=时，S_n最大.

而=5,故{lga_n}的前5项和最大.

解法二: 接前，,于是lga_n=lg［108()^n－1］=lg108+(n－1)lg,

∴数列{lga_n}是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，

令lga_n≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,

∴n≤=5.5. 

由于n∈N^*,可见数列{lga_n}的前5项和最大.