Question

在单调递减的等比数列{a_n}中，a₁=

1

16

，若

5

4

a₂是a₁，a₃的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求数列{

1

bn

}的前项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比，由

5

4

a₂是a₁，a₃的等差中项列式求得等比数列的公比q，则等比数列的通项公式可求；
（Ⅱ）利用对数的运算性质求出b_n，取倒数后由裂项相消法求得数列{

1

bn

}的前项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设单调递减的等比数列{a_n}的公比为q（q＜1），
由a₁=

1

16

，且

5

4

a₂是a₁，a₃的等差中项，得

5

2

×

1

16

q=

1

16

+

1

16

q2，
解得：q=2（舍）或q=

1

2

．
∴an=

1

16

×(

1

2

)n-1=

1

2n+3

；
（Ⅱ）b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n
=log2(a1a2…an)=log2

1

24+5+…+(n+3)

=log22-

n(n+7)

2

=-

n(n+7)

2

．
∴

1

bn

=-

2

n(n+7)

=-

2

7

(

1

n

-

1

n+7

)．
则T_n=-

2

7

(1-

1

8

+

1

2

-

1

9

+…+

1

n

-

1

n+7

)=-

2

7

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

7

-

1

n+1

-

1

n+2

-…-

1

n+7

)
=-

363

40

+

2

7

(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+7

)．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列的性质，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．