分析 (1)联立直线和双曲线的方程,化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求出A,B两点的横纵坐标的积,由以AB为直径的圆经过坐标原点得到x1x2+y1y2=0,代入后即可求得a的值,最后验证是否符合判别式大于0.
(2)由△>0得,a2<6,且a$≠±\sqrt{3}$,方程组有两组有两解,此时直线与双曲线有两个交点.由此能够得出结论.
解答 解:(1)联立直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1,消去y得,(3-a2)x2-2ax-2=0①.
∵直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点,
∴a2-3≠0,且△=4a2+8(3-a2)>0,得:a2<6,且a$≠±\sqrt{3}$,
设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-$\frac{2a}{{a}^{2}-3}$,x1x2=$\frac{2}{{a}^{2}-3}$,
∴y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2•x1x2+a(x1+x2)+1=1
∵以AB为直径的圆过坐标原点∴OA⊥OB,
故OA与OB的斜率的乘积为-1.
∴x1x2=-y1y2,即$\frac{2}{{a}^{2}-3}$=-1,
解得a=±1.
满足a2<6,且a$≠±\sqrt{3}$;
方程组有两组有两解,
若要A、B在双曲线同一支上,则方程①的两根同号,
故x1•x2=$\frac{2}{{a}^{2}-3}$>0,
∴a>$\sqrt{3}$或a<-$\sqrt{3}$.
∴当-$\sqrt{6}$<a<-$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$<a<$\sqrt{6}$时,A、B两点在双曲线的同一支上;
当-$\sqrt{3}$<a<$\sqrt{3}$时,A、B两点在双曲线的两支上.
点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了数学转化思想方法,考查学生分析解决问题的能力,是中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4 | B. | 3 | C. | 2 | D. | 1 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | π | B. | 2π | C. | $\frac{π}{2}$ | D. | 2 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,1] | B. | [3,+∞) | C. | (-∞,-1] | D. | [1,+∞) |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com