Question

7．直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点．
（1）当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？
（2）当a为何值时，A，B两点分别在双曲线的两支上？当a为何值时，A，B两点在双曲线的同一支上？

Answer 1

分析 （1）联立直线和双曲线的方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的积，由以AB为直径的圆经过坐标原点得到x₁x₂+y₁y₂=0，代入后即可求得a的值，最后验证是否符合判别式大于0．
（2）由△＞0得，a²＜6，且a$≠±\sqrt{3}$，方程组有两组有两解，此时直线与双曲线有两个交点．由此能够得出结论．

解答 解：（1）联立直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1，消去y得，（3-a²）x²-2ax-2=0①．
∵直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点，
∴a²-3≠0，且△=4a²+8（3-a²）＞0，得：a²＜6，且a$≠±\sqrt{3}$，
设交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{2a}{{a}^{2}-3}$，x₁x₂=$\frac{2}{{a}^{2}-3}$，
∴y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²•x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=1
∵以AB为直径的圆过坐标原点∴OA⊥OB，
故OA与OB的斜率的乘积为-1．
∴x₁x₂=-y₁y₂，即$\frac{2}{{a}^{2}-3}$=-1，
解得a=±1．
满足a²＜6，且a$≠±\sqrt{3}$；
方程组有两组有两解，
若要A、B在双曲线同一支上，则方程①的两根同号，
故x₁•x₂=$\frac{2}{{a}^{2}-3}$＞0，
∴a＞$\sqrt{3}$或a＜-$\sqrt{3}$．
∴当-$\sqrt{6}$＜a＜-$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{6}$时，A、B两点在双曲线的同一支上；
当-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$时，A、B两点在双曲线的两支上．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．