Question

设a₁，a₂，…，a_n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对(n，

a1

d

)所组成的集合为

 

．

Answer 1

分析：设出数列的公差d，列举出数列的各项，讨论从第一项开始删去，由得到的数列为等比数列，利用等比数列的性质，列出关于d与首项的方程，求出方程的解即可得到d的值，根据d不为0，得到满足题意的d的值，即可求出满足题意的所有数对，组成集合的形式即可．

解答：解：设数列{a_n}的公差为d，则各项分别为：a₁，a₁+d，a₁+2d，…，a₁+（n-1）d，且a₁≠0，d≠0，
假设去掉第一项，则有（a₁+d）（a₁+3d）=（a₁+2d）²，解得d=0，不合题意；
去掉第二项，有a₁（a₁+3d）=（a₁+2d）²，化简得：4d²+a₁d=0即d（4d+a₁）=0，解得d=-

a1

4

，
因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a₁+4d=0），所以数对(n，

a1

d

)=（4，-4）；
去掉第三项，有a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²，化简得：d²-a₁d=0即d（d-a₁）=0，解得d=a₁
则此数列为：a，2a，3a，4a，…此数列仍然不会出现第五项，
因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对(n，

a1

d

)=（4，1）；
去掉第四项时，有a₁（a₁+2d）=（a₁+d）²，化简得：d=0，不合题意；
当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即d=0，不合题意．
所以满足题意的数对有两个，组成的集合为{（4，-4），（4，1）}．
故答案为：{（4，-4），（4，1）}

点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题．学生做题时应时刻注意公差d不为0和各项不为0的条件．