Question

如图，设P是抛物线y=x²上一点，且在第一象限．过点P作抛物线的切线，交x轴于Q₁点，过Q₁点作x轴的垂线，交抛物线于P₁点，此时就称P确定了P₁．依此类推，可由P₁确定P₂，…．记P_n（x_n，y_n），n=0，1，2，…．给出下列三个结论：
①x_n＞0；
②数列{x_n}是公比为的等比数列；
③当x=1时，y+y₁+y₂+…+y_n＜2．
其中所有正确结论的序号为    ．

Answer 1

【答案】分析：通过求导即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程，即可得到x_n+1与x_n的关系，利用等比数列的通项公式、求和公式即可求出．
解答：解：求导得：y′=2x，
∴在P_n处作曲线C的切线的斜率为2x_n，
则此切线方程为y-y_n=2x_n（x-x_n），即y=2x_nx-x_n²，
令y=0，得到x=x_n，∴Q_n+1（x_n，0），即x_n+1=x_n，
∵x₁＞0，∴x_n＞0，即①正确；
∵x_n+1=x_n，∴数列{x_n}是公比为的等比数列，即②不正确；
③当x=1时，数列{x_n}是以1为首项，公比为的等比数列，∴数列{y_n}是以1为首项，公比为的等比数列
∴y+y₁+y₂+…+y_n=＜＜2，即③正确．
综上，正确结论的序号为①③．
点评：本题考查了等比数列的通项公式，曲线上过某点切线方程的斜率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．