Question

设F₁、F₂，分别是椭圆

x2

25

-

y2

9

=1的左、右焦点，点P在椭圆上，若|PF₁|=9|PF₂|，则P点的坐标为

（5，0）

．

Answer 1

分析：设P（x₀，y₀）利用椭圆的第二定义可求得|PF₁|，|PF₂|，利用|PF₁|=9|PF₂|即可求得点P的横坐标x₀，继而可得答案．

解答：解：设P（x₀，y₀），
∵椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的右准线l₂的方程为x=

a2

c

=

a2

a2-b2

=

25

25-9

=

25

4

，
∴椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的左准线l₁的方程为x=-

25

4

；
设点P在l₁上的射影为P′，在l₂上的射影为P″，
则由椭圆的第二定义得：

|PF1|

|PP′|

=

|PF2|

|PP″|

=e=

c

a

=

4

5

，
∴|PF₁|=

4

5

|PP′|=

4

5

（x₀+

25

4

），
同理可得，|PF₂|=

4

5

（

25

4

-x₀），
∵|PF₁|=9|PF₂|，
∴

4

5

（x₀+

25

4

）=9×

4

5

（

25

4

-x₀），
解得x₀=5．
∴y₀=0，
∴P点的坐标为（5，0）．

点评：本题考查椭圆的第二定义，考查方程思想与化归思想的综合运用，考查逻辑思维能力与运算能力，属于中档题．