解:(1)设C(x,y),则(m+1)x+2y-2m-2=m(x-2)+x+2y-2=0(m∈R)
恒成立所以x=2,y=0,
即C(2,0)…(2分)
所以圆C的方程为(x-2)
2+y
2=4…(3分)
(2)由题可知C'(-2,0),
|CC'|=4,∠C'MC=2θ
在△MCC'中,设|MC'|=m,|MC|=n
所以,由余弦定理可知m
2+n
2-2mncos2θ=16①…(4分)
又因为
,
所以
②…(5分)
由①②得
整理得
…(6分)
故点M在以C,C'为焦点的椭圆上
所以E的方程为
…(8分)
注:不写明(y=0)扣(1分)
(3)设
…(10分)
=
当且仅当
时等号成立,
又
所以
得最小值为
…(12分)
分析:(1)设C(x,y),则(m+1)x+2y-2m-2=m(x-2)+x+2y-2=0(m∈R)恒成立,所以C(2,0).由此能求出圆C的方程.
(2)由题可知C'(-2,0),|CC'|=4,∠C'MC=2θ.在△MCC'中,设|MC'|=m,|MC|=n,由余弦定理可知m
2+n
2-2mncos2θ=16.因为
,所以
.由此能求出E的方程.
(3)设
=
.由此能求出
的最小值.
点评:本题考查圆的方程和曲线方程的求法,求
的最小值.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,利用圆锥曲线的性质,合理地进行等价转化.