Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-3（n=1，2，…）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_n+2n（n=1，2，…），求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（I）根据a_n=S_n-S_n-1可得a_n=2a_n-1，然后求出首项，根据等比数列的定义可判定数列{a_n}是等比数列；
（II）先求出数列{a_n}的通项公式，从而得到数列{b_n}的通项，然后根据通项的特征可知利用分组求和法进行求和即可．

解答：（Ⅰ）证明：因为S_n=2a_n-3（n=1，2，…）．，则S_n-1=2a_n-1-3（n=2，3，…）．…（1分）
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，…（3分）
整理得a_n=2a_n-1．            …（4分）
由S_n=2a_n-3，令n=1，得S₁=2a₁-3，解得a₁=3．…（5分）
所以{a_n}是首项为3，公比为2的等比数列．    …（6分）
（Ⅱ）解：因为an=3•2n-1，…（7分）
由b_n=a_n+2n（n=1，2，…），得bn=3•2n-1+2n．
所以Tn=3(1+21+22+…+2n-1)+2(1+2+3+…+n)…（9分）
=3

1(1-2n)

1-2

+2•

n(n+1)

2

…（11分）
=3•2ⁿ+n²+n-3
所以Tn=3•2n+n2+n-3．   …（12分）

点评：本题主要考查了等比数列的判定，以及利用分组求和法求数列的和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．