Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′，
（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；
（Ⅲ）若D′E与平面PQEF所成的角为45°，求D′E 与平面PQGH所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：在正方体中，， 又由已知可得，  所以， 所以PH⊥平面PQEF， 所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， 又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1， 所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是 ，是定值．
（Ⅲ）解：连结BC′交EQ于点M， 因为， 所以平面和平面PQGH互相平行， 因此D′E与平面PQGH所成角与D′E与平面ABC′D′所成角相等， 与（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH， 可知EM⊥平面ABC′D′， 因此EM与D′E的比值就是所求的正弦值． 设AD′交PF于点N，连结EN，由FD=1-b知 ， 因为AD′⊥平面PQEF，又已知D′E与平面PQEF成45°角， 所以， 即， 解得，可知E为BC中点，所以EM=， 又， 故D′E与平面PQCH所成角的正弦值为。