Question

12．已知抛物线y=-2x²和抛物线上一点P（1，-2）．
（Ⅰ）求抛物线的准线方程；
（Ⅱ）过点P作斜率为2，-2的直线l₁，l₂，分别交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设AB的中点M（x₀，y₀）．求证：线段PM的中点Q在
 y轴上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线方程，可得抛物线的准线方程；
（Ⅱ）确定x_Q=0，即可证明结论．

解答 解：（I）抛物线y=-2x²，∴${x^2}=-\frac{1}{2}y$
∴准线方程是$y=\frac{1}{8}$；…4分
（II）直线l₁：y-（-2）=2（x-1），即y=2x-4代入y=-2x²，有2x²+2x-4=0，
∴x²+x-2=0，∴x=-2或x=1，即x₁=-2…7分
同理直线l₂：y-（-2）=-2（x-1），即y=-2x代入y=-2x²，有2x²-2x=0，
∴x²-x=0，∴x=0或x=1，即x₂=0…10分
∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-1$，∴$\frac{{{x_0}+1}}{2}=0$，即x_Q=0
即线段PM的中点Q在y轴上．…13分．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．