Question

6．设点$A（-2，\sqrt{3}）$，B（2，0），点M在椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$上运动，当|MA|+|MB|最大时，点M的坐标为8+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 B为椭圆右焦点，设左焦点为F，则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a，于是|MA|+|MB|=2a+|MA|-|MF|．有-|AF|＜|MA|-|MF|＜|BF|．显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值．

解答 解：B为椭圆右焦点，设左焦点为F（-2，0），则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=8，
于是|MA|+|MB|=8+|MA|-|MF|．
当M不在直线AF与椭圆交点上时，M、F、A三点构成三角形，于是|MA|-|MF|＜|BF|，
而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有|MA|-|MF|=-|AF|，
在第三象限交点时有|MA|-|MF|=|BF|．
显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值，
|MA|+|MB|=8+|MA|-|MF|=8+|AF|=8+$\sqrt{3}$
故答案为：8+$\sqrt{3}$

点评 本题考查椭圆的基本性质，转化思想是解题的关键，属于中档题．