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6.设点$A(-2,\sqrt{3})$,B(2,0),点M在椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$上运动,当|MA|+|MB|最大时,点M的坐标为8+$\sqrt{3}$.

分析 B为椭圆右焦点,设左焦点为F,则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a,于是|MA|+|MB|=2a+|MA|-|MF|.有-|AF|<|MA|-|MF|<|BF|.显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值.

解答 解:B为椭圆右焦点,设左焦点为F(-2,0),则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=8,
于是|MA|+|MB|=8+|MA|-|MF|.
当M不在直线AF与椭圆交点上时,M、F、A三点构成三角形,于是|MA|-|MF|<|BF|,
而当M在直线BF与椭圆交点上时,在第一象限交点时,有|MA|-|MF|=-|AF|,
在第三象限交点时有|MA|-|MF|=|BF|.
显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|+|MB|有最大值,
|MA|+|MB|=8+|MA|-|MF|=8+|AF|=8+$\sqrt{3}$
故答案为:8+$\sqrt{3}$

点评 本题考查椭圆的基本性质,转化思想是解题的关键,属于中档题.

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