Question

如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F₁、F₂在x轴上,长轴A₁A₂的长为4,左准线l与x轴的交点为M,|MA₁|∶|A₁F₁|=2∶1.

(1)求椭圆的方程;

(2)若直线l₁:x=m(|m|＞1),P为l₁上的动点,使∠F₁PF₂最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).

Answer 1

解：(1)设椭圆方程为+=1(a＞b＞0),半焦距为c,则|MA₁|=-a,|A₁F₁|=a-c,

    由题意,得

∴a=2,b=,c=1.

    故椭圆方程为+=1.

(2)设P(m,y₀),|m|＞1,

    当y₀=0时,∠P₁PF₂=0,

    当y₀≠0时,0＜∠F₁PF₂＜∠PF₁M＜,

∴只需求tan∠F₁PF₂的最大值即可.

    设直线PF₁的斜率为k₁,则k₁=;

    设直线PF₂的斜率为k₂,则k₂=,

∴tan∠F₁PF₂=||=

≤=.

    当且仅当=|y₀|时,∠F₁PF₂最大,∴Q(m,±),|m|＞1.