Question

【题目】定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）满足f′（x1）= ，f′（x2） ，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（ ）
A.（ ， ）
B.（0，1）
C.（ ，1）
D.（ ，1）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由题意可知，
在区间[0，a]存在x1 ， x2（0＜x1＜x2＜a），
满足f′（x1）= = =a2﹣a，
∵f（x）=x3﹣x2+a，
∴f′（x）=3x2﹣2x，
∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解．
令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a），
∴
解得 ＜a＜1，
故选：D．
由新定义可知f′（x1）=f′（x2）=a2﹣a，即方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围