Question

17．已知函数f（x）=|2x-a|．
（1）若不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3}，求实数a的值；
（2）若f（x）≥1-|x+1|恒成立，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由条件求得f（x）=|2x-a|≥5的解集，再根据它的解集为{x|x≤-2或x≥3}，求得a的值．
（2）由题意可得|x+1|+|2x-a|≥1 恒成立．设g（x）=|x+1|+|2x-a|，则g（x）_min≥1．分类讨论，求得g（x）的最小值，可得a的范围．

解答 解：（1）根据函数f（x）=|2x-a|≥5，可得 2x-a≥5，或2x-a≤-5，
求得它的解集为{x|x≥$\frac{a+5}{2}$，或x≤$\frac{a-5}{2}$}．
再根据它的解集为{x|x≤-2或x≥3}，可得$\frac{a+5}{2}$=3，且 $\frac{a-5}{2}$=-2，求得a=1．
（2）若f（x）≥1-|x+1|恒成立，则|x+1|+|2x-a|≥1 恒成立．
设g（x）=|x+1|+|2x-a|，由题意可得，g（x）_min≥1．
①当$\frac{a}{2}$＜-1时，即a＜-2时，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-1-3x，x＜\frac{a}{2}}\\{x-a-1，\frac{a}{2}≤x≤-1}\\{3x+1-a，x≥-1}\end{array}\right.$，由单调性求得g（x）的最小值为g（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{a}{2}$-1，
∴-$\frac{a}{2}$-1≥1，求得a≤-4，故此时，a的范围为{a|a≤-4 }．
②当$\frac{a}{2}$＞-1时，即a＞-2时，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-1-3x，x＜-1}\\{a+1-x，-1≤x≤\frac{a}{2}}\\{3x+1-a，x＞\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，由单调性求得g（x）的最小值为g（$\frac{a}{2}$）=$\frac{a}{2}$+1，
∴$\frac{a}{2}$+1≥1，求得a≥0，故此时，a的范围为∅．
③当$\frac{a}{2}$=-1时，即a=-2时，g（x）=3|x+1|≥0，不满足g（x）_min≥1．
综上可得，a的范围为{a|a≤-4 }．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，利用单调性求函数的最值，属于中档题．