Question

已知函数x,y满足x≥1,y≥1  log_a²x+log_a²y=log_a(ax²)+log_a(ay²)(a>0且a≠1),求log_a(xy)的取值范围.

Answer 1

当a>1时，log_axy的最大值为2+2，最小值为1+；

当0＜a＜1时，log_axy的最大值为1－，最小值为2－2.

解析:

由已知等式得  log_a²x+log_a²y=(1+2log_ax)+(1+2log_ay),

即(log_ax－1)²+(log_ay－1)²=4,       

令u=log_ax,v=log_ay,k=log_axy,则(u－1)²+(v－1)²=4(uv≥0),k=u+v.

在直角坐标系uOv内，

圆弧(u－1)²+(v－1)²=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点，

分两类讨论:

(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得

1+≤k≤2(1+);

(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－)≤k≤1－. 

综上，当a>1时，log_axy的最大值为2+2，最小值为1+；

当0＜a＜1时，log_axy的最大值为1－，最小值为2－2.