Question

2．如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M在边CD上，点F在边AB上，且DF⊥AM，垂足为E，若将△ADM沿AM折起，使点D位于D′位置，连接D′B，D′C，得四棱锥D′-ABCM．
（1）求证：平面D′EF⊥平面AMCB；
（2）若∠D′EF=$\frac{π}{3}$，直线D′F与平面ABCM所成角的大小为$\frac{π}{3}$，求几何体A-D′EF的体积．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，AM⊥D′E，AM⊥EF，利用线面垂直的判定可得AM⊥平面D′EF，进一步得到平面D′EF⊥平面AMCB；
（2）过D′作D′H⊥EF于H，由平面D′EF⊥平面AMCB，可得D′H⊥平面AMCB，得到∠D′FE=$\frac{π}{3}$，结合∠D′EF=$\frac{π}{3}$，可得△D′FE是正三角形．然后求解直角三角形可得D′H，利用等积法求得几何体A-D′EF的体积．

解答 （1）证明：∵AM⊥D′E，AM⊥EF，且D′E∩EF=E，
∴AM⊥平面D′EF，
∵AM?平面AMCB，
∴平面D′EF⊥平面AMCB；
（2）解：过D′作D′H⊥EF于H，
∵平面D′EF⊥平面AMCB，
∴D′H⊥平面AMCB，
∵直线D′F与平面ABCM所成角的大小为$\frac{π}{3}$，
∴∠D′FE=$\frac{π}{3}$，又∠D′EF=$\frac{π}{3}$，则△D′FE是正三角形．
∵AB=2BC=4，
∴AD=DF=2，EF=$\sqrt{2}$，
∴D′H=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，S_△AEF=1，
则${V}_{A-D′EF}={V}_{D′-AEF}=\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．