Question

已知函数在x=-3和x=2处取得极值，问：当c为何值时，不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立？

Answer 1

解：求导函数，可得f′（x）=ax²+（b-8）x-（a+ab）
∵函数在x=-3和x=2处取得极值
∴-3和2是方程f′（x）=ax²+（b-8）x-（a+ab）=0的两根
∴
∴a=-3，b=5，…（6分）
∴不等式ax²+bx+c≤0为-3x²+5x+c≤0
令g（x）=-3x²+5x+c，则g（x）图象的对称轴方程为，所以g（x）在上单调递减，从而g（x）在[1，4]上也单调递减，
故要使g（x）≤0在[1，4]上恒成立，则需g（x）_max=g（1）≤0，即-3+5+c≤0，解得c≤-2．
所以当c≤-2时，不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立．…（12分）
分析：先由已知条件求出a=-3，b=5，再构造函数确定函数的单调性，求出函数的最大值，即可求得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，确定函数的解析式，求出函数的最大值是解题的关键．