Question

若sin³θ-cos³θ＞cosθ-sinθ，且θ∈（0，2π），则θ的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：先将sin³θ-cos³θ＞cosθ-sinθ变形成sin³θ+sinθ＞cos³θ+cosθ，然后构造函数f（x）=x³+x，将原不等式转化成f（sinθ）＞f（cosθ），利用导数研究函数f（x）的单调性可得sinθ＞cosθ，在θ∈（0，2π）上求出θ的取值范围即可．

解答：解：已知不等式sin³θ-cos³θ＞cosθ-sinθ变形得：sin³θ+sinθ＞cos³θ+cosθ，
设f（x）=x³+x，
∵f′（x）=3x²+1＞0，
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴原不等式变形为f（sinθ）＞f（cosθ），
∴sinθ＞cosθ，
又∵θ∈（0，2π），
∴

π

4

＜θ＜

5π

4

，
则θ的取值范围是：（

π

4

，

5π

4

）
故答案为：（

π

4

，

5π

4

）

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．