Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）若BB₁=4，求CB₁与平面AA₁B₁B所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ） 证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴C₁C⊥平面ABC，∴C₁C⊥AC，
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC⊥BC，
又C₁C∩BC=C，
∴AC⊥平面CC₁B₁B，
∵BC₁?平面CC₁B₁B，
∴AC⊥BC₁；
（Ⅱ）证明：令BC₁与CB₁的交点为E，连结DE．
∵D是AB的中点，E为BC₁的中点，
∴DE∥AC₁，
又∵AC₁?平面CDB₁，DE?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）作CD⊥AB于D，连B₁D，则
∴CD⊥BB₁，AB∩BB₁=B，
∴CD⊥平面A₁B，
∴∠CB₁D即为 CB₁与平面AA₁B₁B所成角，
在直角△ABC中，由等面积可得CD=

12

5

，
∵BB₁=4，BC=4，
∴CB₁=4

2

，
∴B₁D=

4 41

5

∴tan∠CB₁D=

CD

B1D

=

3 41

41

．