Question

已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）相交于A，B两点．求证：OA⊥OB．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：函数的性质及应用

分析：画出函数的图象，根据题意得出ky²+y-k=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得出y12•y22=x₁x₂．从而求出k_OA•k_OB，

解答： 解：如图所示，
，
由

y2=-x y=k(x+1)

，消去x得，ky²+y-k=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根与系数的关系得y₁•y₂=-1，y₁+y₂=-

1

k

．
∵A，B在抛物线y²=-x上，
∴y12=-x₁，y22=-x₂，
∴y12•y22=x₁x₂．
∵k_OA•k_OB=

y1

y2

•

y2

x2

=

y1y2

x1x2

=

1

y1y2

=-1，
∴OA⊥OB．

点评：本题考查了直线和抛物线的关系，考查了韦达定理，考查了两直线的位置关系，是一道中档题．