Question

如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD₁上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为    ．

Answer 1

【答案】分析：先推导点P的轨迹，从而确定点P与平行六面体所围成的几何体的形状，然后求几何体的体积
解答：解：取AB的中点E连接DE，由题意知DE⊥AB，DE⊥CD
以DE所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD₁所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系
设M（0，0，z），N（x，y，0），则P（）
MN=
∴x²+y²+z²=4
∴
∴OP²=1
即OP=1
∴点P的轨迹是以原点D为球心，以1为半径的球的一部分
又∵∠BAD=60°
∴∠ADC=120°
∴点P的轨迹是球的
∴几何体的体积为
故答案为：
点评：本题考查几何体的体积，须先用代数法确定点的轨迹，然后熟练应用体积公式即可．属中档题