Question

甲、乙两人参加奥运知识竞赛，假设甲、乙两人答对每题的概率分别为

2

3

与

3

5

，且答对一题得1分，答不对得0分．
（I）甲、乙两人各答一题，求两人得分之和ξ的分布列及数学期望；
（II）甲、乙两人各答两题，每人每答一题记为一次，求这四次答题中至少有一次答对的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意知甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2．当变量取值是0时，表示甲、乙两人都没有答对每题；当变量取值是1时，表示甲、乙两人有一个人答对一个题；当变量取值是2时，表示甲、乙两人都答对每题，根据相互独立事件同时发生的概率做出结果，写出分布列，求出期望．
（2）甲、乙两人各答两题，每人每答一题记为一次，这四次答题中至少有一次答对的对立事件是甲、乙两人各答两题，这四次都没答对，根据对立事件的概率公式得到结论．

解答：解：（I）依题意，记“甲答对一题”为事件A，
“乙答对一题”为事件B
则P(A)=

2

3

，P(B)=

3

5

，P(

.

A

)=

1

3

，P(

.

B

)=

2

5

甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2
∴ξ的分布列为
P(ξ=0)=P(

.

A

)P(

.

B

)=

2

15

；
P(ξ=1)=P(A)P(

.

B

)+P(

.

A

)P(B)=

2

3

×

2

5

+

1

3

×

3

5

=

7

15

P(ξ=2)=P(A)P(B)=

2

3

×

3

5

=

6

15

Eξ=0×

2

15

+1×

7

15

+2×

6

15

=

19

15

∴每人各答一题，两人得分之和ξ的数学期望为

19

15

（II）“甲、乙两人各答两题，这四次都没答对”的概率为

.

P

=

1

3

×

1

3

×

2

5

×

2

5

=

4

225

∴甲、乙两人各答两题，这四次答题中至少有一次答对的概率为
P=1-

.

P

=1-

4

225

=

221

225

即甲、乙两人各答两题，这四次答题中至少有一次答对的概率为

221

225

点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．