Question

若有且只有一个常数c使得对于任意x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]满足方程log_axy=c，则a的值为

 

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Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由2a＞a，a²＞a，a＞0且a≠1，解得a＞1．由于log_axy=c，化为指数式xy=a^c．由于有且只有一个常数c使得对于任意x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]满足方程log_axy=c，可得a²=a^c，2a³=a^c，解出即可．

解答： 解：由2a＞a，a²＞a，a＞0且a≠1，解得a＞1．
∵log_axy=c，
∴xy=a^c．
∵有且只有一个常数c使得对于任意x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]满足方程log_axy=c，
∴a²=a^c，2a³=a^c，
解得a=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了指数式与对数式的互化、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．