Question

13．（1）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1中，过左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于点N，若∠F₁NF₂=60°．求椭圆的离心率；
（2）双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁、F₂．O为坐标原点，若在双曲线上存在一点M，使得|OM|=2a，且∠F₁MF₂=60°，求双曲线的渐进线方程及离心率；
（3）已知F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{12}$=1的左焦点，点A（1，4），点P是双曲线右支上的动点，求|PF|+|PA|的最小值；
（4）抛物线y²=4x的焦点为F，准线为L，经过点F且斜率为$\sqrt{3}$的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，求△AKF的面积．

Answer 1

分析 （1）设左焦点为（-c，0），令x=-c，代入椭圆方程，求得N的坐标，运用解直角三角形，可得离心率；
（2）设M为右支上一点，|F₁M|=s，|MF₂|=t，运用余弦定理和双曲线的定义、中线长公式，化简整理，解方程可得离心率和渐近线方程；
（3）设出右焦点F'，由双曲线的定义和两点间线段最短，可得最小值；
（4）设出直线方程，代入抛物线的方程，求得A的坐标，再由抛物线的定义，可得三角形AKF的面积．

解答 解：（1）设左焦点为（-c，0），令x=-c，代入椭圆方程可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可取N（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），即有tan60°=$\frac{2c}{\frac{{b}^{2}}{a}}$，即2ac=$\sqrt{3}$b²=$\sqrt{3}$（a²-c²），
由e=$\frac{c}{a}$，可得$\sqrt{3}$e²+2e-$\sqrt{3}$=0，解得e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）在△F₁MF₂中，∠F₁MF₂=60°，|OM|=2a，
设M为右支上一点，|F₁M|=s，|MF₂|=t，
即有s²+t²-2stcos60°=4c²，①
又s-t=2a②，2（s²+t²）=4c²+16a²③
联立①②③可得c²=2a²，a=b，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$即为y=±x；
（3）设双曲线的右焦点为F'，
由双曲线的定义可得，|PF|-|PF'|=2a=4，
|PF|+|PA|=|PF'|+|PA|+4，
连接AF'，可得|PF'|+|PA|+4≥|AF'|+4=$\sqrt{（1-4）^{2}+（4-0）^{2}}$+4=9，
当且仅当A，P，F'三点共线时，取得最小值9；
（4）抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），准线为L：x=-1，
过点F且斜率为$\sqrt{3}$的直线为y=$\sqrt{3}$（x-1），代入抛物线方程，可得
3x²-10x+3=0，解得x=3或$\frac{1}{3}$，
取A（3，2$\sqrt{3}$），由抛物线的定义可得|AK|=3+1=4，
则△AKF的面积为$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．．

点评 本题考查圆锥曲线的定义、方程和性质，考查直线和圆锥曲线的位置关系，注意联立方程，考查运算能力，属于中档题．