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如图,直线AB与椭圆:(a>b>0)交于A,B两点,与x轴和y轴分别交于点P和点Q,点C是点A关于x轴的对称点,直线BC与x轴交于点R.
(1)若点P为(6,0),点Q为(0,3),点A,B恰好是线段QP的两个三等分点.
①求椭圆的方程;
②过坐标原点O引△ABC外接圆的切线,求切线长;
(2)当椭圆给定时,试探究OP•OR是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.

【答案】分析:(1)①利用,点B为A、P中点,可得点A、B的坐标,代入椭圆方程,求得几何量,从而可求椭圆的方程;
②确定线段AB的中垂线方程,求得△ABC外接圆的圆心与半径,从而可求切线长;
(2)确定直线BC的方程,求得R的坐标,同理可求P的坐标,表示出OP•OQ,利用P、Q再椭圆上,即可求得结论.
解答:解:(1)①设点A(x,y),由题意知,则有(6,-3)=3(x,y-3),
解得x=2,y=2,即A(2,2),又点B为A、P中点,可得点B(4,1)…(2分)
,解得:a2=20,b2=5,∴椭圆的方程为…(5分)
②由点A(2,2),B(4,1)可求得线段AB的中垂线方程为y=2x-,令y=0,得x=
设△ABC外接圆的圆心为M,半径为r,可知M(,0),r=AM=…(7分)
∴切线长为…(9分)
(2)设点B(x,y),A(x1,y1),则C(x1,-y1).
所以直线BC的方程为y-y=(x-x),
令y=0,得,即点R(,0),
同理P(,0)…(13分)
∴OP•OQ=||||=
又∵,∴①×-②×,两式相减得

∴当椭圆给定时,OP•OR为定值a2…(16分)
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆的位置关系,考查点差法的运用,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,设点F是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点,直线l的方程为x=-
a2
c
,直线l与x轴交于点P,线段MN为椭圆的长轴,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|.
(1)求椭圆的C的标准方程;
(2)若过点P且斜率为
1
4
的直线AB与椭圆交于A、B两点,求弦长|AB|
(3)若过点P的直线AB与椭圆交于A、B 两点,求△ABF的面积的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,直线AB与椭圆:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)交于A,B两点,与x轴和y轴分别交于点P和点Q,点C是点A关于x轴的对称点,直线BC与x轴交于点R.
(1)若点P为(6,0),点Q为(0,3),点A,B恰好是线段QP的两个三等分点.
①求椭圆的方程;
②过坐标原点O引△ABC外接圆的切线,求切线长;
(2)当椭圆给定时,试探究OP•OR是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知F(c,0)是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦点;⊙F:(x-c)2+y2=a2与x轴交于D,E两点,其中E是椭圆C的左焦点.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设⊙F与y轴的正半轴的交点为B,点A是点D关于y轴的对称点,试判断直线AB与⊙F的位置关系;
(3)设直线AB与椭圆C交于另一点G,若△BGD的面积为
24
6
13
c
,求椭圆C的标准方程.

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年江苏省盐城市高三(上)摸底数学试卷(解析版) 题型:解答题

如图,直线AB与椭圆:(a>b>0)交于A,B两点,与x轴和y轴分别交于点P和点Q,点C是点A关于x轴的对称点,直线BC与x轴交于点R.
(1)若点P为(6,0),点Q为(0,3),点A,B恰好是线段QP的两个三等分点.
①求椭圆的方程;
②过坐标原点O引△ABC外接圆的切线,求切线长;
(2)当椭圆给定时,试探究OP•OR是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.

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