Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=a_n²+2a_n，n∈N*，设b_n=log₂（a_n+1）．
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）求证：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}-1}$＜n（n≥2）；
（III）若${2^{c_n}}$=b_n，求证：2≤${（\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}）^n}$＜3．

Answer 1

分析 （I）由题意可知：${a_{n+1}}={a_n}^2+2{a_n}$，${a_{n+1}}+1={a_n}^2+2{a_n}+1=（{a_n}+1{）^2}$，两边取对数，即可求得b_n+1=2b_n，则{b_n}是以2为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求得a_n，代入即可求得a_n；
（II）利用数学归纳法即可求证1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}-1}$＜n（n≥2）；
（III）．证明：由${2^{c_n}}={b_n}$得c_n=n，${（\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}）^n}={（\frac{1+n}{n}）^n}={（1+\frac{1}{n}）^n}$，利用二项式定理展开，${（1+\frac{1}{n}）^n}=C_n^0+C_n^1\frac{1}{n}+C_n^2\frac{1}{n^2}+…+C_n^k\frac{1}{n^k}+…+C_n^n\frac{1}{n^n}$$＜1+1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=3-\frac{1}{n}＜3$，当n=1时显然成立．所以得证．

解答 解：（I）由${a_{n+1}}={a_n}^2+2{a_n}$，则${a_{n+1}}+1={a_n}^2+2{a_n}+1=（{a_n}+1{）^2}$，
由a₁=3，则a_n＞0，两边取对数得到${log_2}（{a_{n+1}}+1）={log_2}（{a_n}+1{）^2}=2{log_2}（{a_n}+1）$，即b_n+1=2b_n（2分）
又b₁=log₂（a₁+1）=2≠0，
∴{b_n}是以2为公比的等比数列．
即${b_n}={2^n}$（3分）
又∵b_n=log₂（a_n+1），
∴${a_n}={2^{2^n}}-1$（4分）
（2）用数学归纳法证明：1^o当n=2时，左边为$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}＜2$=右边，此时不等式成立；    （5分）
2^o假设当n=k≥2时，不等式成立，
则当n=k+1时，左边=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{{{2^k}-1}}+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{{{2^k}+1}}+…\frac{1}{{{2^{k+1}}-1}}$（6分）
$＜k+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{{{2^k}+1}}+…\frac{1}{{{2^{k+1}}-1}}$$＜k+\overbrace{\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^k}+…\frac{1}{2^k}}^{{2^k}个}$＜k+1=右边
∴当n=k+1时，不等式成立．
综上可得：对一切n∈N^*，n≥2，命题成立．（9分）
（3）证明：由${2^{c_n}}={b_n}$得c_n=n，
∴${（\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}）^n}={（\frac{1+n}{n}）^n}={（1+\frac{1}{n}）^n}$，
首先${（1+\frac{1}{n}）^n}=C_n^0+C_n^1\frac{1}{n}+C_n^2\frac{1}{n^2}+…+C_n^k\frac{1}{n^k}+…+C_n^n\frac{1}{n^n}≥2$，（10分）
其次∵$C_n^k\frac{1}{n^k}=\frac{n（n-1）…（n-k+1）}{{k!{n^k}}}＜\frac{1}{k!}≤\frac{1}{k（k-1）}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}（k≥2）$，
∴${（1+\frac{1}{n}）^n}=C_n^0+C_n^1\frac{1}{n}+C_n^2\frac{1}{n^2}+…+C_n^k\frac{1}{n^k}+…+C_n^n\frac{1}{n^n}$，
$＜1+1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=3-\frac{1}{n}＜3$，
当n=1时显然成立．所以得证．（15分）

点评 本题考查等比数列通项公式，对数的运算性质，考查数学归纳法求证不等式成立，二项式定理，考查计算能力，属于难题．