【题目】从高一年级随机选取100名学生,对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析,成绩如图所示.
(Ⅰ)从这100名学生中随机选取一人,求该生数学和语文成绩均低于60分的概率;
(II)从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人,记这两人中数学成绩高于80分的人数为,求的分布列和数学期望(;
(Ill)试判断这100名学生数学成绩的方差与语文成绩的方差的大小.(只需写出结论).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)分布列见解析, ;(Ⅲ).
【解析】试题分析:(1)先确定数学和语文成绩均低于60分的人数,再根据古典概型概率公式求概率,(2)先确定随机变量取法,再根据组合数求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望,(3)数学成绩波动比语文成绩大,所以.
试题解析:(I)由图知,在被选取的100名学生中,数学和语文成绩均低于60分的有9人,所以从100名学生中随机选取一人,该生数学和语文成绩均低于60分的概率为.
(Ⅱ)由图知,语文成绩大于80分的学生优10人,这10人中数学成绩高于80分的有4人,所以的所有可能取值为0,1,2.
, , ,所以的分布列为
0 | 1 | 2 | |
故的数学期望.
(Ⅲ)由图判断, .
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【题目】定义在上的函数满足:对于任意实数都有恒成立,且当时,.
(Ⅰ)判定函数的单调性,并加以证明;
(Ⅱ)设,若函数有三个零点从小到大分别为,求的取值范围.
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【题目】用适当的方法表示下列集合:
(1)一年中有31天的月份的全体;
(2)大于小于12.8的整数的全体;
(3)梯形的全体构成的集合;
(4)所有能被3整除的数的集合;
(5)方程的解组成的集合;
(6)不等式的解集.
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【题目】如图所示,EB垂直于菱形ABCD所在平面,且EB=BC=2,∠BAD=60°,点G、H分别为边CD、DA的中点,点M是线段BE上的动点.
(I)求证:GH⊥DM;
(II)当三棱锥D-MGH的体积最大时,求点A到面MGH的距离.
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【题目】甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲:82,81,79,78,95,88,93,84;乙:92,95,80,75,83,80,90,85
(1) 用茎叶图表示这两组数据,并计算平均数与方差;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中两个)考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.
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【题目】已知函数,,且函数是偶函数.
(1)求的解析式;.
(2)若不等式在上恒成立,求n的取值范围;
(3)若函数恰好有三个零点,求k的值及该函数的零点.
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