Question

【题目】如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，N是PC的中点．
（Ⅰ）若PA=1，求二面角B﹣PC﹣D的大小；
（Ⅱ）求AN与平面PCD所成角的正弦值的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）四边形ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，作BM⊥PC，连接MD，
由于RT△PBC≌RT△PDC，
则DM⊥PC，∴∠BMD就是所求二面角的平面角．
PA=AB=1，∴ ，∴ ．
同理 ，又 ，
在△BDM中，
由余弦定理得 ，
二面角B﹣PC﹣D的大小为 ．
（Ⅱ）设AN与平面PCD所成角为α，PA=h．
作AQ⊥PD又CD⊥AQ，∴AQ⊥平面PCD，
因此在RT△AQN中， ．
∵在RT△PAD中， ，
在RT△PAC中， ， ，
∵ ，
．


【解析】（Ⅰ）四边性ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，作BM⊥PC，连接MD，可得RT△PBC≌RT△PDC，DM⊥PC，因此∠BMD就是所求二面角的平面角．再利用余弦定理即可得出．（II）设AN与平面PCD所成角为α，PA=h．作AQ⊥PD，又CD⊥AQ，可得AQ⊥平面PCD，利用直角三角形的边角关系可得： ，再利用基本不等式的性质即可得出．
【考点精析】关于本题考查的空间角的异面直线所成的角，需要了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．