【题目】已知函数.
(1)若在上的最小值为,求的值;
(2)若在上恒成立,求的取值范围.
【答案】(1) (2) a≥-1
【解析】试题分析:(1)求出通过①若a≥-1,判断单调性求解最值;②若a≤-e,③若-e<a<-1,求出函数的最值,即可得到a的值;
(2)化简表达式为:a>.令g(x)= ,求出h(x)=g′(x)=1+lnx-3x2,求出导数,判断函数的单调性,求出函数的最值,即可推出结果.
试题解析:
(1) f′(x)=.
①若a≥-1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=-a=,∴a=-(舍去).
②若a≤-e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,
此时f(x)在[1,e]上为减函数,∴f(x)min=f(e)=1-=,∴a=-(舍去).
③若-e<a<-1,令f′(x)=0得x=-a,
当1<x<-a时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数;当-a<x<e时,f′(x)>0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=,∴a=-.综上所述,a=-.
(2)∵f(x)<x2,∴ln x-<x2.又x>0,∴a>xln x-x3.令g(x)=xln x-x3,h(x)=g′(x)=1+ln x-3x2,h′(x)=-6x=.∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,∴h(x)在(1,+∞)上是减函数.
∴h(x)<h(1)=-2<0,即g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上也是减函数.g(x)<g(1)=-1,
∴当a≥-1时,f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立.
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【题目】给出下列命题:
①三点确定一个平面;
②在空间中,过直线外一点只能作一条直线与该直线平行;
③若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β;
④若直线a、b、c满足a⊥b、a⊥c,则b∥c.
其中正确命题的个数是 .
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣2ax,a∈R.
(Ⅰ)若函数y=f(x)存在与直线2x﹣y=0垂直的切线,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)设g(x)=f(x)+ ,若g(x)有极大值点x1 , 求证: >a.
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【题目】已知函数f(x)= ,若F(x)=f[f(x)+1]+m有两个零点x1 , x2 , 则x1x2的取值范围是( )
A.[4﹣2ln2,+∞)
B.( ,+∞)
C.(﹣∞,4﹣2ln2]
D.(﹣∞, )
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【题目】如图放置的边长为2的正三角形沿轴滚动,记滚动过程中顶点的横、纵坐标分别为和,设是的函数,记,则下列说法中:
①函数的图像关于轴对称;
②函数的值域是;
③函数在上是增函数;
④函数与在上有个交点.
其中正确说法的序号是_______.
说明:“正三角形沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动.沿轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转,当顶点C落在轴上时,再以顶点C为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正三角形可以沿轴负方向滚动.
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【题目】中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美,给出定义:能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”,给出下列命题:
①对于任意一个圆O,其“优美函数“有无数个”;
②函数 可以是某个圆的“优美函数”;
③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”;
④函数y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.
其中正确的命题是( )
A.①③
B.①③④
C.②③
D.①④
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