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数列{bn}定义如下:对于正整数m,bm是使不等式an≥m成立中的所有n中的最小值
(Ⅰ)若正项数列{an}前n和为Sn
Sn
1
4
与(an+1)2的等比中项,求an及bn通项;
(Ⅱ)若数列{an}通项为an=pn+q(n∈N*,p>0),是否存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*),如果存在,求出p和q的取值范围,如果不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)根据题中已知条件结合数列的基本性质便可求出数列an的通项公式,然后利用题中关于bn的定义便可求出数列分别讨论n为奇数和偶数时bn的表达式便可求得bn的通项公式;
(Ⅱ)存在,根据题中条件先求出p、q与m的关系可知3p-1>0(或3p-1<0)不符合条件,然后3p-1=0便可求出p值,进而求得q的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)由于
Sn
1
4
与(an+1)2的等比中项,∴Sn=
1
4
(an+1)2

当n=1时,S1=
1
4
(a1+1)2
,∴a1=1,(2分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
1
4
(an+1)-
1
4
(an-1+1)
,由an>0,化简有an-an-1=2
所以{an}是等差数列,an=2n-1,检验当n=1时也适合,即an=2n-1(5分)
对于正整数,由an≥m,得n≥
m+1
2

根据bm的定义可知:当m=2k-1时,bm=k(k∈N*);当m=2k时,bm=k+1(k∈N*).
bn=
n+1
2
,n是奇数
n
2
+1,n是偶数
(9分)
(Ⅱ)假设存在p和q满足条件,由不等式pn+q≥m及p>0,得:n≥
m-q
p

∵bm=3m+2(m∈N*),根据bm的定义可知,对于任意的正整数m 都有3m+1<
m-q
p
≤3m+2
,即-2p-q≤(3p-1)m<-p-q对任意的正整数m都成立.
当3p-1>0(或3p-1<0)时,得m<-
p+q
3p-1
(或m≤-
2p+q
3p-1
),
这与上述结论矛盾!(13分)
当3p-1=0,即p=
1
3
时,得-
2
3
-q≤0<-
1
3
-q
,解得-
2
3
≤q<-
1
3

∴存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*);
p和q的取值范围分别是p=
1
3
-
2
3
≤q<-
1
3
.(16分)
点评:本题主要考查了考查了数列的递推公式,学生的计算能力和对数列的综合掌握,解题时注意整体思想和转化思想的运用,是各地高考的热点,属于中档题.
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(Ⅰ)若p=
1
2
,q=-
1
3
,求b3
(Ⅱ)若p=2,q=-1,求数列{bm}的前2m项和公式;
(Ⅲ)是否存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*)?如果存在,求p和q的取值范围;如果不存在,请说明理由.

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(Ⅰ)若p=
1
2
,q=-
1
3
,求b3
(Ⅱ)(文)若p=2,q=-1,求数列{bm}的前2m项和公式;
(Ⅲ)(文)若p=
1
3
,是否存在q,使得b m=3m+2(m∈N*)?如果存在,求q的取值范围;如果不存在,请说明理由.

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(1)若a=2,b=-3,求b10
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