Question

在直角坐标系xOy中，设A点是曲线C₁：y=ax³+1（a＞0）与曲线C2：x2+y2=

5

2

的一个公共点，若C₁与C₂在A点处的切线互相垂直，则实数a的值是

 

．

Answer 1

分析：设出两曲线的交点A的坐标，代入两曲线解析式，分别记作①和②，由曲线C₁的解析式，求出导函数，把点A的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为曲线C₁在A处的切线的斜率，进而表示出C₁在A处的切线方程，由C₁在A处的切线与C₂在A处的切线互相垂直，得到求出的切线方程过曲线C₂的圆心（0，0），把圆心坐标代入切线方程得到一个关系式，记作③，联立①②③，即可求出a的值．

解答：解：设点A的坐标为（x₀，y₀），代入两曲线方程得：
y₀=ax₀³+1①，x₀²+y₀²=

5

2

②，
由曲线C₁：y=ax³+1得：y′=3ax²，
则曲线C₁在A处的切线的斜率k=3ax₀²，
所以C₁在A处的切线方程为：y=3ax₀²（x-x₀）+y₀，
由C₁在A处的切线与C₂在A处的切线互相垂直，
得到切线方程y=3ax₀²（x-x₀）+y₀过圆C₂的圆心（0，0），
则有3ax₀²（0-x₀）+y₀=0，即y₀=3ax₀³③，
把③代入①得：a=

1

2x03

④，④代入③得：y₀=

3

2

⑤，⑤代入②得：x₀=±

1

2

，
当x₀=

1

2

时，代入④得：a=4；当x₀=-

1

2

时，代入④得：a=-4（由a＞0，不合题意，舍去）．
则实数a的值为4．
故答案为4．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，掌握圆切线垂直于过切点的直径的性质，是一道中档题．