解:(I)
,
.
因为a>0由F′(x)>0?x∈(a,+∞),所以F(x)在(a,+∞)上单调递增;
由F′(x)<0?x∈(0,a),
所以F(x)在(0,a)上单调递减.
(Ⅱ)由题意可知
对任意0<x
0≤3恒成立,
即有
对任意0<x
0≤3恒成立,即
,
令
,
则
,即实数a的最小值为
.
(III)若y=g(
)+m-1═
的图象与y=f(1+x
2)=ln(x
2+1)的图象恰有四个不同交点,
即
有四个不同的根,
亦即
有四个不同的根.
令
,
则
.
当x变化时G'(x).G(x)的变化情况如下表:
由表格知:
.
又因为
可知,当
时,
方程
有四个不同的解.
∴
的图象与
y=f(1+x
2)=ln(x
2+1)的图象恰有四个不同的交点.
分析:(I)先求出F(x),然后求出F'(x),分别求出F′(x)>0与F′(x)<0 求出F(x)的单调区间;
(II)利用导数的几何意义表示出切线的斜率k,根据
恒成立将a分离出来,
,即可求出a的范围,从而得到a的最小值;
(III)p函数y=g(
)+m-1的图象与y=f(1+x
2)的图象有四个不同的交点转化成方程有四个不同的根,分离出m后,转化成新函数的最大值和最小值.
点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系,导数在函数单调性和最值中的应用,同时考查了导数的几何意义和恒成立问题,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.