Question

过原点向曲线y=x³+2x²+a可作三条切线，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：设出切点的坐标，求出曲线方程的导函数，把设出的切点的横坐标代入导函数中表示出切线方程的斜率k，由切点坐标和斜率写出切线方程，把原点坐标代入得到一个方程，设方程左边的函数为h（x），求出h（x）导函数为0时x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负，得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到h（x）的极大值和极小值，令极大值大于0，极小值小于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到满足题意的a的取值范围．

解答：解：设切点坐标为（x₀，x₀³+2x₀²+a），而切线的斜率k=y′=3x₀²+4x₀，
所以切线方程为：y-（x₀³+2x₀²+a）=（3x₀²+4x₀）（x-x₀），
把原点（0，0）代入得：2x₀³+2x₀²-a，
所以过原点向曲线y=x³+2x²+a可作三条切线，方程2x₀³+2x₀²-a=0有三个不同的实数解，
设h（x）=2x³+2x²-a，所以令h′（x）=6x²+4x=2x（3x+2）=0，解得x=0或x=-

2

3

，
则x，h′（x），h（x）的变化如下图：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，0）	0	（0，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

根据图形可知：h（x）_极大值=h（-

2

3

）=

8

27

-a，h（x）_极小值=h（0）=-a，
根据题意

h(- 2 3 )＞0 h(0)＜0

，即

8 27 -a＞0 -a＜0

，解得：0＜a＜

8

27

，
则实数a的取值范围是（0，

8

27

）．
故答案为：（0，

8

27

）

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负得到函数的单调区间并根据函数的增减性得到函数的极值，是一道中档题．