Question

设f（x）=ax²-3x-6a不等式f（x）＞0的解集是（-3，2）．
（1）求f（x）；
（2）当函数f（x）的定义域是[0，1]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）可得方程ax²-3x-6a=0的两实根为-3，2，由韦达定理可解得a=-3，进而可得解析式；
（2）由（1）可知f（x）=-3x²-3x+18=-3（x+

1

2

）²+

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4

，结合二次函数的知识可得函数在[0，1]上单调递减，进而可得值域．

解答：解：（1）∵不等式ax²-3x-6a＞0的解集是（-3，2）．
∴一元二次方程ax²-3x-6a=0的两实根为-3，2
由韦达定理可得

-3+2= 3 a -3×2= -6a a =-6

，解之可得a=-3，
故f（x）=-3x²-3x+18
（2）由（1）可知f（x）=-3x²-3x+18=-3（x+

1

2

）²+

75

4

故对应的抛物线开口向下，对称轴为x=-

1

2

，
故在[0，1]上单调递减，故当x=0时，函数取最大值18，
当x=1时，函数取最小值f（1）=12，
故此时函数的值域为[12，18]

点评：本题考查一元二次不等式的解法，涉及函数值域的求解，属基础题．