Question

（2012•临沂一模）已知函数f(x)=1-

a

x+1

-ln(x+1)，（a为常实数）．
（1）若函数f（x）在区间（-1，1）内无极值，求实数a的取值范围；
（2）已知n∈N^*，求证：ln(n+1)＞n-2(

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

)．

Answer 1

分析：（1）求导函数，函数f（x）在区间（-1，1）内无极值，等价于f'（x）在（-1，1）恒大于0或恒小于0，从而可求实数a的取值范围；
（2）令a=2，可得f(x)=1-

2

x+1

-ln(x+1)，当x∈N^*时，f（x）＜0令x+1=

n+1

n

，则f(

1

n

)=1-

2

1 n +1

-ln(

1

n

+1)，可得ln（n+1）-lnn＞1-

2n

n+1

，n分别取1，2，…，n，叠加即可得到结论．

解答：（1）解：求导函数，可得f'（x）=

a

(x+1)2

-

1

x+1

∵函数f（x）在区间（-1，1）内无极值
∴f'（x）在（-1，1）恒大于0或恒小于0
∴

a

(x+1)2

-

1

x+1

＞0或

a

(x+1)2

-

1

x+1

＜0在区间（-1，1）内恒成立
∴a＞x+1或a＜x+1在区间（-1，1）内恒成立
∴a≥2或a≤0
（2）证明：令a=2，可得f(x)=1-

2

x+1

-ln(x+1)，当x∈N^*时，f（x）＜0
令x+1=

n+1

n

，则f(

1

n

)=1-

2

1 n +1

-ln(

1

n

+1)
∴ln(

1

n

+1)＞1-

2

1 n +1

∴ln（n+1）-lnn＞1-

2n

n+1

n分别取1，2，…，n，叠加可得ln(n+1)＞n-2(

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

)

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，解题赋值是关键．