Question

20．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{1}{2}$），函数f（x）=（$\overrightarrow{m}$$+\overrightarrow{n}$）$•\overrightarrow{m}$，又a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且f（A）=3．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{3}$，且△ABC为锐角三角形，求b-$\frac{1}{2}$c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算可得解析式sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，由已知可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，可解得A的值，
（2）根据正弦定理得到b=2sinB，c=2sinC，代入b-$\frac{1}{2}$c化简得到b-$\frac{1}{2}$c=$\sqrt{3}$sin（B-$\frac{π}{6}$），根据角的范围即可求出其范围．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$cosx，-$\frac{1}{2}$），
∴f（x）=（$\overrightarrow{m}$$+\overrightarrow{n}$）$•\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{m}$²+$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=sin²x+1+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+2=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，
∵f（A）=3，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）+2=3，
即sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜A＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
（2）由正弦定理可知$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∴b-$\frac{1}{2}$c=2sinB-sinC=2sinB-sin（π-$\frac{π}{3}$-B）=2sinB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB=$\frac{3}{2}$sinB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB-$\frac{1}{2}$cosB）=$\sqrt{3}$sin（B-$\frac{π}{6}$），
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（B-$\frac{π}{6}$）＜1，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\sqrt{3}$sin（B-$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{3}$．
∴b-$\frac{1}{2}$c的取值范围为（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查平面向量数量积的运算，正弦定理的应用，以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于中档题．