Question

直角坐标平面上，有2013个非零向量

a1

、

a2

、

a3

、…、

a2013

，且

ak

⊥

ak+1

（k=1，2，…，2012），各向量的横坐标和纵坐标均为非负实数，若|

a1

|+|

a2

|+|

a3

|+…+|

a2013

|=l（常数），则|

a1

+

a2

+

a3

+…+

a2013

|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：向量的加法及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：由于2013个非零向量

a1

、

a2

、

a3

、…、

a2013

，且

ak

⊥

ak+1

（k=1，2，…，2012），各向量的横坐标和纵坐标均为非负实数，不妨设图形如图所示．设

a1

+

a3

+…+

a2013

=

OA

=（m，0），

a2

+

a4

+…+

a2012

=

OB

=（0，n）．可得

OA

⊥

OB

，|

OA

|=|

a1

|+|

a3

|+…+|

a2013

|=m，|

OB

|=|

a2

|+|

a4

|+…+

|a2012

|=n．又|

a1

|+|

a2

|+|

a3

|+…+|

a2013

|=l（常数），即m+n=l，再利用均值不等式的性质即可得出．

解答： 解：由于2013个非零向量

a1

、

a2

、

a3

、…、

a2013

，且

ak

⊥

ak+1

（k=1，2，…，2012），各向量的横坐标和纵坐标均为非负实数，不妨设图形为：
设

a1

+

a3

+…+

a2013

=

OA

=（m，0）

a2

+

a4

+…+

a2012

=

OB

=（0，n）．
则

OA

⊥

OB

，|

OA

|=|

a1

|+|

a3

|+…+|

a2013

|=m，
|

OB

|=|

a2

|+|

a4

|+…+

|a2012

|=n．
又|

a1

|+|

a2

|+|

a3

|+…+|

a2013

|=l（常数），
∴m+n=l，
∵

a1

+

a2

+

a3

+…+

a2013

=

OA

+

OB

=（m，n），
∴|

a1

+

a2

+

a3

+…+

a2013

|=|

OA

+

OB

|
=

m2+n2

≥

m+n

2

=

2

2

l，当且仅当|

OA

|=|

OB

|=

1

2

l时取等号．
∴|

a1

+

a2

+

a3

+…+

a2013

|的最小值为

2

2

l．
故答案为：

2

2

l．

点评：本题考查了向量的加法运算、数量积的性质、均值不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和数形结合的能力，属于难题．