Question

【题目】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD．

（2）求三棱锥B-EFC的体积．

Answer 1

【答案】（）见解析；（）．

【解析】

（1）取PC的中点G，证明四边形EFGA是平行四边形，可得EF∥AG，证得EF∥平面PAD．
（2）取AD中点O，可证PO⊥底面ABCD，进而得到点F到面ABCD距离，利用等体积转换，即可求三棱锥B-AEF的体积．

（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，

∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且，

又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，

∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，

又EF面PAD，AG面PAD，

∴EF∥面PAD；

（2）解：取AD中点O，连结PO，

∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，

又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离，

故.