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10.已知F1,F2分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的左右焦点,若在双曲线的右支上存在一点M,使得($\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$)•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0 (其中O为坐标原点),且|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|,则双曲线的离心率为(  )
A.$\sqrt{5}$-1B.$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$C.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$D.$\sqrt{3}$+1

分析 依题意双曲线右支上存在一点M,使得($\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$)•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0判断出∠F1MF2=90°,设出|MF2|=t,则|MF1|=$\sqrt{3}$t,进而利用双曲线定义可用t表示出a,根据勾股定理求得t和c的关系,最后可求得双曲线的离心率.

解答 解:∵双曲线右支上存在一点M,使得($\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$)•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0,
∴∠F1MF2=90°
设|MF2|=t,则|MF1|=$\sqrt{3}$t,
∴a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$t,
∵t2+3t2=4c2,∴t=c
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$+1
故选:D.

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用.

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