Question

10．已知F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0 （其中O为坐标原点），且|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$-1
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 依题意双曲线右支上存在一点M，使得（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0判断出∠F₁MF₂=90°，设出|MF₂|=t，则|MF₁|=$\sqrt{3}$t，进而利用双曲线定义可用t表示出a，根据勾股定理求得t和c的关系，最后可求得双曲线的离心率．

解答 解：∵双曲线右支上存在一点M，使得（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0，
∴∠F₁MF₂=90°
设|MF₂|=t，则|MF₁|=$\sqrt{3}$t，
∴a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$t，
∵t²+3t²=4c²，∴t=c
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$+1
故选：D．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用．