Question

17．已知a＞0，函数f（x）=lg（a•2^x-a+4）在区间（-1，+∞）上有意义．
（1）求a的取值范围；
（2）解关于x的不等式：$\frac{{x}^{2}+2x}{a}$+a²＜（a+1）x+2．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的定义可知，a•2^x-a+4＞0在区间（-1，+∞）恒成立，分离参数，求出a的取值范围即可，
（2）关键是分类讨论，根据题目的要求仔细分类，解不等式即可．

解答 解：（1）f（x）=lg（a•2^x-a+4）在区间（-1，+∞）上有意义，
则a•2^x-a+4＞0在区间（-1，+∞）恒成立，
∴a（2^x-1）＞-4，
当-1＜x＜0时，a＜$\frac{4}{1-{2}^{x}}$，∵$\frac{4}{1-{2}^{x}}$＞8，∴a≤8，
当x＞0时，a＞$\frac{4}{1-{2}^{x}}$，∵$\frac{4}{1-{2}^{x}}$＜0，∴a＞0，
当x=0时，a∈R，
综上所述a的取值范围为（0，8]，
（2）$\frac{{x}^{2}+2x}{a}$+a²＜（a+1）x+2．
①当a＞0时，不等式化为x²+2x+a³＜a（a+1）x+2a，
即x²-（-2+a+a²）x+a³-2a＜0，
即[x-（a²-2）]（x-a）＜0，
当a²-2＞a时，即a＞2时，解得a＜x＜a²-2，
当a²-2＜a时，即0＜a＜2时，解得a²-2＜x＜a，
当a²-2=a时，即a=2时，无解，
②当a＜0时，不等式化为x²+2x+a³＞a（a+1）x+2a，
即x²-（-2+a+a²）x+a³-2a＞0，
即[x-（a²-2）]（x-a）＞0，
当a²-2＞a时，即a＜-1时，解得x＜a，或x＞a²-2，
当a²-2＜a时，即-1＜a＜0时，解得x＜a²-2，或x＞a，
当a²-2=a时，即a=-1时，解得x≠1，
综上所述：当a＞2时，解集为（a，a²-2），
当a=2时，解集为∅，
当0＜a＜2时，解集为（a²-2，a），
当-1＜a＜0时，解集为（-∞，a²-2）∪（a，+∞），
当a=-1时，解集为（-∞，1）∪（1，+∞），
当a＜-1时，解集为（-∞，a）∪（a²-2，+∞）．

点评 本题考查了不等式的解法，正确分类是关键，属于中档题．