Question

3．三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上，若PA⊥底面ABC，底面ABC是直角三角形，PA=2，AC=BC=1，则点A到面PBC的距离为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$；此球的表面积为6π．

Answer 1

分析 由题意三棱锥的侧棱PB的中点到P、A、B、C的距离相等，则PB就是三棱锥外接球的直径，求出PB即可求出球的表面积，利用等积法，可得点A到面PBC的距离．

解答 解：由题意可知，三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上，
∵PA⊥地面ABC，底面ABC是直角三角形，PA=2，AC=BC=1，∠ACB=90°，
△PCB是直角三角形，△PAB是直角三角形，
所以侧棱PB的中点到P、A、B、C的距离相等，
则PB就是三棱锥外接球的直径，AB=$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{6}$，
球的半径为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
此球的表面积为：4π（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=6π，
又∵PC=$\sqrt{5}$，
故△_PBC的面积S=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故三棱锥的体积V=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}×1×1$）×2=$\frac{1}{3}$，
设点A到面PBC的距离为d，则$\frac{1}{3}dS=V$，
解得：d=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
故答案为：$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，6π，

点评 本题考查空间想象能力，计算能力，解题关键是找出外接球的直径就是侧棱PB，仔细分析题意，是解好题目的前提