Question

【题目】已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=（n﹣1）2n+1+2，n∈N*
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn= ，Tn=b1+b2+…+bn ， 求证：对任意的n∈N* ， Tn＜ ．

Answer 1

【答案】解：（I）a1+2a2+…+nan=（n﹣1）2n+1+2，n∈N*，n＞1时，a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=（n﹣2）2n+2，

∴nan=（n﹣1）2n+1﹣（n﹣2）2n，化为：an=2n．

当n=1时，a1=2，上式也成立．

∴an=2n．

（II）证明：bn= = = ，

∴Tn=b1+b2+…+bn= + +…+

= ＜ ．

∴对任意的n∈N*，Tn＜ ．

【解析】（1）当n＞1时，a1+2a2+…+nan=（n﹣1）2n+1+2，a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=（n﹣2）2n+2两式相减得到an=2n，当n=1时也满足其通项公式，故an=2n，（2）根据简单的对数运算得出bn的通项公式，再用裂项求出其前n项和，不难得出 Tn＜ .
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．