Question

已知函数f（x）=a^x+ka^-x，其中a＞0且a≠1，k为常数，若f（x）在R上既是奇函数，又是减函数，则a+k的取值范围是

（-1，0）

．

Answer 1

分析：由f（x）在R上是奇函数，可得f（0）=0，可求得k=-1，于是f（x）=a^x-a^-x，由f（x）=a^x-a^-x是减函数，由f′（x）＜0可求
a的取值范围，从而可求得a+k的取值范围．

解答：解：∵f（x）在R上是奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=1+k，
∴k=-1；
∴f（x）=a^x-a^-x，
又f（x）=a^x-a^-x是减函数，
∴f′（x）＜0，即a^xlna+a^-xlna=（a^x+a^-x）lna＜0，由于a^x+a^-x＞0，
∴lna＜0，
∴0＜a＜1．
∴a+k=a-1∈（-1，0）．
故答案为：（-1，0）．

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，难点在用导数研究f（x）=a^x-a^-x是减函数，确定a的范围，属于中档题．