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1.某地政府落实党中央“精准扶贫”政策,解决一贫困山村的人畜用水困难,拟修建一个底面为正方形(由地形限制边长不超过10m)的无盖长方体蓄水池,设计蓄水量为800m3.已知底面造价为160元/m2,侧面造价为100元/m2
(I)将蓄水池总造价f(x)(单位:元)表示为底面边长x(单位:m)的函数;
(II)运用函数的单调性定义及相关知识,求蓄水池总造价f(x)的最小值.

分析 (I)设蓄水池高为h,则$h=\frac{800}{x^2}$,利用底面造价为160元/m2,侧面造价为100元/m2,即可将蓄水池总造价f(x)(单位:元)表示为底面边长x(单位:m)的函数;
(II)确定y=f(x)在x∈(0,10]上单调递减,即可求蓄水池总造价f(x)的最小值.

解答 解:(Ⅰ)设蓄水池高为h,则$h=\frac{800}{x^2}$,…(2分)
∴$f(x)=160{x^2}+100•4x•h=160{x^2}+100•4x•\frac{800}{x^2}$…(4分)
=$160({x^2}+\frac{2000}{x}),(0<x≤10)$…(6分)
(Ⅱ)任取x1,x2∈(0,10],且x1<x2,则$f({x_1})-f({x_2})=160[({x_1}^2+\frac{2000}{x_1})-({x_2}^2+\frac{2000}{x_2})]$
=$\frac{160({x}_{1}-{x}_{2})[{x}_{1}{x}_{2}({x}_{1}-{x}_{2})-2000]}{{x}_{1}{x}_{2}}$…(8分)
∵0<x1<x2≤10,∴x1x2>0,x1-x2<0,x1x2(x1+x2)<2000,
∴y=f(x1)-f(x2),即f(x1)>f(x2),∴y=f(x)在x∈(0,10]上单调递减…(10分)
故x=10当时,fmin(x)=f(10)=48000…(11分)
答:当底面边长为10m时,蓄水池最低造价为48000元…(12分)

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查函数单调性的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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