Question

设[x]是不超过x的最大整数，则[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃500]=

2142

．

Answer 1

分析：先根据对数的运算性质判断[log₃1]、[log₃2]、[log₃3]…[log₃500]的大小，最后加起来即可．

解答：解：由题意可知：设[log₃a]=b
log₃a=b+x，a，b为整数
a=3^b+x，0≤x＜1，
因为y=3^x为单调增函数
当a在[1，2]时
因为3⁰=1，3¹=3
则0＜b+x＜1
所以b=0时，[log₃1]=[log₃2]=0
当a在[3，8]时
同理1＜b+x＜2
b=1时，[log₃3]=[log₃4]=…=[log₃8]=1
b=2时，[log₃9]=[log₃10]=…=[log₃26]=2．
b=3时，[log₃27]=[log₃28]=…=[log₃80]=3．
b=4时，[log₃81]=[log₃82]=…=[log₃242]=4．
b=5时，[log₃243]=[log₃244]=[log₃245]=…=[log₃500]=5．
∴[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃500]
=0×（3¹-3⁰）+1×（3²-3¹）+2×（3³-3²）+3×（3⁴-3³）+4×（3⁵-3⁴）+5×（500-243+1）
=1×6+2×18+3×54+4×162+5×257
=1×6+2×18+3×54+4×162+5×257=2142．
故答案为：2142．

点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用，同时要注意总结规律．